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《程序员的数学》笔记

作者:[日] 结城浩 著,管杰 译

偏导数

微积分
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偏导数的表示符号为:∂。
偏导数反映的是函数沿坐标轴正方向的变化率。

在z = f(x,y)中,如果保持y不变,那么f将依赖于x的变化,这将得到一个和xz平行的平面p,p与f(x, y)平面切面的交线就是曲线f(x, y0),偏导数f'x(x0,y0)就是交线上一点对x轴的切线的斜率,当然它也只能对x轴,此时的切线和y轴没什么关系。如果保持x不变,就是y的偏导,偏导数f'y(x0,y0)就是交线上一点对y轴的切线的斜率。
 


梯度

概念

梯度的本意是一个向量(矢量),表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值,即函数在该点处沿着该方向(此梯度的方向)变化最快,变化率最大(为该梯度的模)。


连续函数

概念

在数学中,连续是函数的一种属性。直观上来说,连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候,输出的变化也会随之足够小的函数。如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义,则这个函数被称为是不连续的函数(或者说具有不连续性)。


数学期望

概率论

  • 在概率论和统计学中,数学期望(mean)(或均值,亦简称期望)是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和,是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。
  • 需要注意的是,期望值并不一定等同于常识中的“期望”——“期望值”也许与每一个结果都不相等。期望值是该变量输出值的平均数。期望值并不一定包含于变量的输出值集合里。
  • 大数定律规定,随着重复次数接近无穷大,数值的算术平均值几乎肯定地收敛于期望值。


导数的几何意义

微积分

当函数定义域和取值都在实数域中的时候,导数可以表示函数的曲线上的切线斜率。

 


斜率

几何

斜率用来量度斜坡的斜度。数学上,直线的斜率在任一处皆相等,是直线倾斜程度的量度。透过代数和几何能计算出直线的斜率;曲线上某点的切线斜率反映此曲线的变数在此点的变化快慢程度,用微积分可计算出曲线中任一点的切线斜率,直线斜率的概念等同土木工程/地理的坡度。


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